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104. $rank\left ( T \right ) = 희미한\left ( X \right ) – nullity\left ( T \right )$
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$X = sp\left \{ x_1, \cdots, x_k, x_{k+1}, \cdots, x_n \right \}$ $\left ( \left \{ x_1, \cdots, x_k \right \} \ In Ker\left ( T \right ) \right )$
WTS $R\left ( T \right ) = sp\left \{ T\left (x_{k+1} \right ), \cdots, T\left ( x_n \right ) \right \}$.
하나. $\left \{ T\left (x_{k+1} \right ), \cdots, T\left ( x_n \right ) \right \}$ 포리스트 독립.
2. $u \in R\left ( T \right ) \to \exists \alpha_i$ $st \alpha_{k+1} T\left ( x_{k+1} \right ) + \cdots + \alpha_{n} T\left ( x_{n} \right ) = u$.
하나. $\sum_{i=k+1}^{n} \alpha_i T\left ( x_i \right ) = 0$일 때 $\forall \alpha_i = 0$?
$\Rightarrow T\left ( \sum_{i=k+1}^{n} \alpha_i x_i \right )$ (Def 55 기준)
SPS. $\sum_{i=k+1}^{n} \alpha_i x_i = \sum_{i=1}^{k} \beta_i x_i$
$\오른쪽 화살표 \beta_1 x_1 + \cdots + \beta_k x_k – \alpha_{k+1} x_{k+1} – \cdots – \alpha_n x_n = 0$
$\left \{ x_1, \cdots, x_k, x_{k+1}, \cdots, x_n \right \}$ lin 독립. $\to \forall \beta_i \left ( i = 1, \cdots, k \right ), \alpha_j \left ( j = k+1, \cdots, n \right ) = 0$
2. $T\left ( x \right ) = u$ $\exists x \in X$라고 하자.
$\Rightarrow T\left ( \alpha_1 x_1 + \cdots \alpha_n x_n \right ) = u$
$\Rightarrow \alpha_1 T\left ( x_1 \right ) + \cdots + \alpha_k T\left ( x_k \right ) + \alpha_{k+1} T\left ( x_{k+1} \right ) + \ cdots + \alpha_n T\left ( x_n \right ) = u$
$\alpha_1 T\left ( x_1 \right ) + \cdots + \alpha_k T\left ( x_k \right ) = 0 \to \alpha_{k+1} T\left ( x_{k+1} \right ) + \cdots + \alpha_n T\left ( x_n \right ) = u$ $\square$
※ 이전의 (이 선형 대수학) 1-05주차 선형 연산자의 부분 공간 우리가 보여주고자 하는 문제는 여기서 해결됩니다.
콜 105. $dim\left ( X \right ) = 희미한 \left ( U \right ) \Rightarrow T$ surj $\rightleftharpoons T$ inj.
$T$ surj $\rightleftharpoons dim\left ( U \right ) = rank\left ( T \right )$
$rank\left ( T \right ) = dim\left ( X \right ) – nullity\left ( T \right )$ (기본적인 LA 기준)
$dim\left ( U \right ) = 희미한\left ( X \right ) – nullity\left ( T \right )$ (by $dim\left ( U \right ) = rank\left ( T \right )$)
$nullity\left ( T \right ) = 0$ (by $dim\left ( X \right ) = 희미한 \left ( U \right )$)
$nullity\left ( T \right ) = 0 \rightleftharpoons Ker\left ( T \right ) = \left \{ 0 \right \} \rightleftharpoons T$ 단사 (Thrm 92)
107. If $dim\left ( X \right ) = dim\left ( U \right )$ then $T$ reversible $\rightleftharpoons T$ surj $\rightleftharpoons T$ is full rank (Def 101에 따름)
$\rightleftharpoons T$ inj $\rightleftharpoons T$는 비단수입니다(Corl 105 및 Thrm 92를 통해).
동영상 시청 날짜는 2023년 3월 26일입니다.
마지막 업데이트: 2023.04.10.
저자 : 임태준